Sorular

Blog

Satranç, tarih boyunca matematikçilerin ve düşünürlerin ilgisini çeken bir oyun olmuştur. Gerek felsefesi gerek de tahtadaki olasılıklarıyla bu ilgiyi fazlasıyla hak etmektedir. Matematik problemlerinde satranç tahtasına sıklıkla başvurulur, özellikle olasılık dendiğinde ilk akla gelenlerden birisi satrançtır. Satranç tahtası kullanılarak sorulabilecek sorular yalnızca matlar veya kombinezonlarla sınırlı değildir.

Üzerinde düşünebileceğiniz, satranç tahtasını konu alan problemlerden bazılarılarını aşağıda bulabilirsiniz.

Birinci Problem: Bir satranç tahtasının en üst sağ karesiyle en alt sol karesini kesip attığınızda, satranç tahtasının geri kalan 62 karesini, her biri iki kare kaplayan dominolarla kaplayabilir misiniz?

Cevap: Yanıt olumsuzdur, yani “kaplayamam”dır.

Yanıtın Kanıtı: Satranç tahtasının en üst sağ karesiyle en alt sol karesi aynı renktedirler. (Siyah karelerdir. Siyah kare daima sol alt köşede bulunmalıdır.) Dolayısıyla, dominoyla kaplamamız gereken tahtada artık 32 beyaz kare ve 30 siyah kare kalmıştır. Oysa her domino bir siyah ve bir beyaz kare kaplar, yani dominoların kapladığı karelerin yarısı siyah, yarısı beyaz olmalıdır. Demek ki dominolarla 32 beyaz ve 30 siyah kare kaplayamayız.

Bu problem salt 8 × 8 satranç tahtası için değil, n×n boyutlu her satranç tahtası için sorulabilir. Yanıt her seferinde “hayır”dır.

 Öte yandan, 8 × 8 boyutlu bir satranç tahtasından bir siyah, bir beyaz kare kesilirse, o satranç tahtası dominolarla kaplanabilir. Şöyle. önce kesilmiş satranç tahtasına aşağıdaki gibi iki tarak yerleştirin:

 Bu taraklar satranç tahtasında bir labirent gibi koridorlar açıyorlar. Koridorları takip ederek, bir eksik kareden, öbür eksik kareye iki türlü gidebiliriz. Nasıl gidersek gidelim, her iki yolda da çift sayıda kareden geçeriz. Köşeler de bir sorun yaratmadığından dominoları tarakların açtığı koridorlara yerleştirerek, satranç tahtasını dominolarla kaplayabiliriz.


İkinci Problem: Önünüze bir satranç tahtası alın. En üstteki sol kareye bir tavla pulu koyun. O pulla şu hamleleri yapabilirsiniz: Pulu bir kare sağa, sola, aşağı yada yukarı kaydırabilirsiniz. Her kareden geçerek ve her kareden yalnızca bir kez geçerek pulu en alt sağ kareye götürebilir misiniz?

Götürebilirseniz nasıl götürürsünüz, götüremezseniz neden götüremezsiniz?

Cevap: Hayır, götüremem. Niye mi? Satranç tahtasında 64 kare vardır. Her kareden bir kez geçmemiz gerektiğine göre 63 hamle yapmalıyız. Yani 63 hamlede en üst sol kareden en alt sağ kareye gitmeliyiz. Oysa bu iki kare beyaz. Ve tek sayılık hamlede beyaz bir kareden gene beyaz bir kareye gidilemez!

Yanıt şaşırtıcı bir yalınlıkta. Elimizdeki verilerden yalnızca işimize yarayanı kullanıyoruz. Pulun hangi kareden hangi kareye gideceğinden çok beyaz bir kareden gene beyaz bir kareye gitmesi önemli olan. Ve hamle sayısının 63 olmasından çok bir tek sayı olması önemli. Çok daha genel ve kanıtı çok daha basit bir sonuç bulduk: Beyaz bir kareden gene beyaz bir kareye tek sayıda hamleyle gidemeyiz.


Üçüncü Problem: Bu problem bir satranç tahtası problemi gibi gözükmese de aslında 5 × 5’lik bir satranç tahtası problemidir.

25 öğrencinin ardarda dizilmiş beşer kişilik beş sırada oturduğu bir sınıfta öğretmen, öğrencilerin aynı anda ya bir sağa ya bir sola ya bir öne ya da bir arkaya kayarak yer değiştirmelerini istiyor. Her öğrenci elbette her hareketi yapamaz. Örneğin, en öndekiler öne kayamazlar. Köşedekiler sadece iki hamle yapabilirler. Ortalarda oturanların dört değişik hamle olanağı var. Her öğrenci yer değiştirmek zorunda ve her öğrenci sadece tek bir hamle yapabilir. Öğrenciler öğretmenin dediğini yapabilirler mi?

Cevap: Yapamazlar.

Öne ve sola kayan öğrencilere 1 puan verelim. Arkaya ve sağa kayan öğrencilere −1 puan verelim. Öğrencilerin toplam puanı 0 etmek zorunda, çünkü yer değiştirme sonunda herkes bir yere oturmak zorunda. Ama 25 tane 1 ve −1’in toplamı hiçbir zaman 0 etmez, çünkü 25 tek bir sayıdır.


Dördüncü Problem: Çok bilinen bir problemdir. 8 Vezir bulmacası ilk olarak 1948 yılında profesyonel satranç oyuncusu olan Max Bezzel tarafından ortaya atılmıştır. Yıllar içerisinde Gauss gibi önemli matematikçiler tarafından incelenen problemi ilk çözümü 1950 yılında Franz Nauck tarafından sunuldu. Ayrıca Franz Nauck problemi n*n lik tahta üzerinde genelleştirerek n vezir problemi haline de getirmiştir.

Problemin Tanımı8 Vezir bulmacası 8*8 satranç tahtası üzerinde 8 vezirin birbirini yemeyecek şekilde konumlandırılmasıdır. ( Aynı satır, aynı sütun veya aynı çarpraz sırada iki veya fazla vezir bulunamaz.)

Problemin Çözümü: 8*8 satranç tahtası için 92 farklı çözüm bulunmaktadır. Sekiz vezir bulmacasının 92 ayrı çözümü vardır. Ancak bu çözümlerin çoğu birbirinden yalnızca döndürme ve yansıma gibi simetri işlemleriyle üretilebilir. Bu nedenle, eğer simetriden doğan bu fazla çözümler birleştirilip tek çözüm olarak sayılırsa, bulmacanın aslında aşağıda gösterilen 12 eşsiz çözümü vardır. Ayrıca, aşağıda farklı vezir sayıları için kaç farklı çözüm olduğunu görebilirsiniz.


Beşinci Problem: Yukarıdaki 8 vezir probleminin geliştirilmiş versiyonudur.

  1. Bir satranç tahtasına aynı tür taştan (birbirlerine bakmayacak şekilde) kaç tane yerleştirilebilir? (Yukarıdaki vezir probleminin tüm taşlara uyarlamasıdır.)
  1. Her kareyi kontrol etmek için gereken en az taş (aynı tür) sayısı nedir?

Cevap:

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir